Em uma de minhas aulas no 7º ano fundamental, falando sobre números ímpares, pares, primos, perfeitos e quadrados perfeitos, pedir para meus alunos exercitarem um pouco, conseguirem pra mim, alguns quadrados perfeitos partindo de divisões, pegassem números grandes e verificassem se eles eram ou não quadrados, minha intenção aqui não era encontrar quadrados perfeitos – pois para isto bastava multiplicar um número por si próprio – mas sim, a pratica da divisão, já que esta é um dos grandes problemas de nossos alunos.
Alguns minutos depois alguns apresentaram vários números quadrados perfeitos, porém teve um que me apresentou uma relação entre os quadrados perfeito que me surpreendeu, não que fosse uma descoberta, mas sim, a surpresa foi para a observação e reflexão do aluno, coisa rara entres nossos alunos do fundamental, lembrando também que para mim ou qualquer matemático ou mesmo aqueles que se atrevem a ensinar matemática sem ser licenciado na área, não foi uma novidade, porém para ele – o aluno – foi.
- olhe aqui professor, que coisa interessante. Disse ele.
- se eu pegar 1 + (2+1) = 4 que é um quadrado perfeito; a partir deste basta somar ao acréscimo que fiz ao primeiro (1),isto é, a 2+1, dois (2) e somar o resultado ao proprio quadrado para encontrar o quadrado seguinte; ou seja:
1 + (2 + 1) = 4
4 + (3 + 2) = 9;
9 + (5 + 2) = 16;
16 + (7 + 2) = 25;
25 + (9 + 2) = 36;
36 + (11 + 2) = 49
49 + (13 + 2) = 64
64 + (15 + 2) = 81
81 + (17 + 2) = 100 e assim por diante.
Não é legal professor? O senhor sabia disso?
Para não tirar o brilho dos seus olhos, eu respondi: Não, olha aí cara, legal, tente encontrar outras relações entre outros números.
Muito bom... Ronaldo lance como desafio para os alunos de 9º anos ou do ensino médio mostrarem essa relação. Podemos escrever algum artigo sobre isso. Mas o enunciado do aluno está errado,pois ele conjecturou apenas para o 2º caso - erro de indução, a mesma afirmação não é válida para os demais casos. Veja:
ResponderExcluir"se eu pegar 1 + (2+1) = 4 que é um quadrado perfeito; ou seja, basta somar 2 ao quadrado antecessor, com ele próprio e o resultado desse acréscimo, acrescenta a dois para encontrar o seguinte quadrado, assim temos:
4 +(2+1+2) = 9; 9 + (5+2) = 16; 16 + (7+2) = 25; 25 + (9+2) = 36; 36 + (11+2) = 49 e assim por diante."
Se aplicarmos o enunciado para os demais casos, por exemplo:
3²+2+4=4² (falso).
Poderíamos enunciar de forma mais clara, assim: "Para obtermos um quadrado perfeito basta somar o quadrado anterior com o número (raiz quadrada do quadrado perfeito) e seu antecessor. Matematicamente, equivale a:
ResponderExcluir(n-1)²+n+(n-1)=n².
Olá prof.Patrício, que Deus te abençõe e ter dê muitos anos de inteligencia. Voltando para a questão citada no seu comentário, acho que é querer de mais que ele demonstre isso com variáveis, a não ser que eu o ajudasse, porem isso tiraria seu mérito de descubridor, logo, só o fato de ele ter descobrido a relação, mesmo sem usar variáveis, já o põe como um grande aluno, a partir daí, eu poderei intervir com um enunciado como fez vossa exelencia, agora der outra olhadela, veja lá, talvez agora esteja melhor enunciado.
ResponderExcluirObrigado por comentar, é com os comentários que aprimoramos.
Achei legal até certo ponto porque64 + (19 + 2) não é 81 e sim 85.
ResponderExcluir81 + (21 + 2) não é 100 e sim 104.
Esses dias achei uma propriedade ainda meio obscura pra mim mas que, se estudada, deve levar a alguma fórmula que pode chegar a nos ajudar algum dia na matemática.
É algo msid ou menos assim:
Número base = 4.
4x4x4 = 64, sqrt 64 = 8
8x8x4 = 256, sqrt 256 = 16
16x16x4 = 1024, sqrt 1024 = 32
32*32*4 = 4096, sqrt 4096 = 64
E assim sucetivamente...
Obs.: Os restultados finais apresentam rasão constante.
Isso se aplica a números como 4, 9, 25, 64, 729. (Não sei se pulei algum. Eu cansei de ficar testando alguns números grandes.)
Thiago Tomaz Abdelnur